Skip to Main Content

Table 7 presents the statistics on HV values for C-MOEA/DD and C-NSGA-III on 5-, 8-, and 10-objective DAS-CMaOP6-9 with the first twelve difficulty triplets in Table 3. We can see that for 5-, 8-, and 10-objective DAS-CMaOP7 with feasibility-hardness, C-NSGA-III is significantly better than C-MOEA/DD. For 5-objective DAS-CMaOP7 with simultaneous diversity-, feasibility-, and convergence-hardness—that is, the difficulty triplets are (0.25, 0.25, 0.25), (0.5, 0.5, 0.5), (0.75, 0.75, 0.75)—C-MOEA/DD is significantly better than C-NSGA-III. For 8- and 10-objective DAS-CMaOP7 with difficulty triplets (0.0,0.0,0.75) and (0.75,0.75,0.75), C-MOEA/DD is significantly better than C-NSGA-III.

Table 7:
Means and standard deviations of HV values obtained by C-MOEA/DD and C-NSGA-III on DAS-CMaOP7-9 with 5, 8, and 10 objectives. Wilcoxon's rank sum test at 0.05 significance level is performed between C-MOEA/DD and C-NSGA-III. and denote that the performance of C-NSGA-III is significantly worse than or better than that of C-MOEA/DD, respectively. DAS-CMaOP7(i) means that DAS-CMaOP7 has the i-th difficulty triplet in Table 3.
m = 5m = 8m = 10
Test ProblemC-MOEA/DDC-NSGA-IIIC-MOEA/DDC-NSGA-IIIC-MOEA/DDC-NSGA-III
DAS-CMaOP7(1) 7.31E-01(2.43E-02) 7.40E-01(3.47E-02) 7.38E-01(1.71E-02) 7.70E-01(7.75E-02) 7.13E-01(2.50E-02) 7.14E-01(1.27E-01) 
DAS-CMaOP7(2) 5.01E-01(5.83E-04) 5.11E-01(4.97E-04) 4.76E-01(3.43E-03) 5.14E-01(2.83E-04) 4.48E-01(6.58E-03) 5.14E-01(3.42E-04) 
DAS-CMaOP7(3) 8.66E-01(1.69E-03) 8.76E-01(1.38E-03) 9.07E-01(5.59E-03) 9.39E-01(7.74E-03) 9.06E-01(8.64E-03) 9.66E-01(8.03E-03) 
DAS-CMaOP7(4) 4.22E-01(1.59E-02) 4.18E-01(1.86E-02) 3.97E-01(1.05E-02) 3.99E-01(4.88E-02) 3.76E-01(1.01E-02) 3.88E-01(3.92E-02) 
DAS-CMaOP7(5) 7.09E-01(3.11E-02) 6.82E-01(3.46E-02) 7.17E-01(1.40E-02) 6.56E-01(1.54E-01) 6.92E-01(1.89E-02) 5.70E-01(1.74E-01) 
DAS-CMaOP7(6) 5.01E-01(4.07E-04) 5.11E-01(4.26E-04) 4.74E-01(4.96E-03) 5.14E-01(3.85E-04) 4.45E-01(6.42E-03) 5.14E-01(2.27E-04) 
DAS-CMaOP7(7) 8.61E-01(1.80E-03) 8.70E-01(1.68E-03) 9.00E-01(7.98E-03) 9.24E-01(8.93E-03) 9.00E-01(9.04E-03) 9.47E-01(1.22E-02) 
DAS-CMaOP7(8) 4.13E-01(1.69E-02) 3.27E-01(6.29E-02) 3.80E-01(1.13E-02) 2.62E-01(7.02E-02) 3.60E-01(9.87E-03) 3.17E-01(8.34E-02) 
DAS-CMaOP7(9) 6.71E-01(2.74E-02) 5.56E-01(1.19E-01) 6.72E-01(1.77E-02) 3.92E-01(1.62E-01) 6.52E-01(1.97E-02) 3.75E-01(1.22E-01) 
DAS-CMaOP7(10) 5.01E-01(5.83E-04) 5.11E-01(3.90E-04) 4.76E-01(5.88E-03) 5.14E-01(4.22E-04) 4.44E-01(6.12E-03) 5.14E-01(2.64E-04) 
DAS-CMaOP7(11) 6.24E-01(3.45E-02) 5.72E-01(6.82E-02) 2.76E-01(2.17E-02) 3.61E-02(6.84E-11) 1.26E-01(6.84E-03) 4.76E-02(1.72E-07) 
DAS-CMaOP7(12) 1.88E-01(2.93E-02) 2.19E-02(3.33E-05) 1.68E-01(1.73E-01) 2.10E-02(5.63E-05) 5.40E-01(1.78E-02) 1.44E-02(2.30E-05) 
DAS-CMaOP8(1) 6.74E-01(1.79E-02) 6.62E-01(2.87E-02) 7.28E-01(6.03E-03) 7.37E-01(4.23E-03) 7.64E-01(4.02E-03) 7.77E-01(3.45E-03) 
DAS-CMaOP8(2) 5.02E-01(1.90E-03) 5.13E-01(6.55E-04) 4.89E-01(5.11E-03) 5.14E-01(7.99E-03) 4.57E-01(4.37E-03) 5.15E-01(4.12E-03) 
DAS-CMaOP8(3) 7.68E-01(1.26E-02) 7.69E-01(3.35E-03) 8.36E-01(4.39E-03) 8.51E-01(2.02E-03) 8.89E-01(3.96E-03) 9.06E-01(3.75E-03) 
DAS-CMaOP8(4) 4.34E-01(1.14E-02) 4.30E-01(2.15E-02) 4.16E-01(5.20E-03) 4.40E-01(2.60E-03) 4.04E-01(1.13E-02) 4.29E-01(2.16E-03) 
DAS-CMaOP8(5) 6.63E-01(1.50E-02) 6.32E-01(2.88E-02) 7.07E-01(3.16E-02) 7.29E-01(6.89E-03) 7.47E-01(1.42E-02) 7.68E-01(3.73E-03) 
DAS-CMaOP8(6) 5.03E-01(5.26E-04) 5.13E-01(7.76E-04) 4.93E-01(2.89E-03) 5.08E-01(8.78E-03) 4.66E-01(7.78E-03) 5.10E-01(5.31E-03) 
DAS-CMaOP8(7) 7.70E-01(1.24E-02) 7.58E-01(6.65E-03) 8.41E-01(1.18E-02) 7.61E-01(1.88E-02) 8.84E-01(1.24E-02) 8.22E-01(4.17E-02) 
DAS-CMaOP8(8) 4.20E-01(1.36E-02) 3.91E-01(2.42E-02) 4.02E-01(1.53E-02) 4.26E-01(4.82E-03) 4.02E-01(3.44E-03) 4.19E-01(3.00E-03) 
DAS-CMaOP8(9) 6.36E-01(2.51E-02) 5.84E-01(2.80E-02) 6.74E-01(5.14E-02) 7.08E-01(1.72E-02) 7.19E-01(3.48E-02) 7.55E-01(4.33E-03) 
DAS-CMaOP8(10) 5.02E-01(1.46E-03) 4.84E-01(2.18E-02) 4.79E-01(8.86E-03) 4.98E-01(6.15E-03) 4.93E-01(2.35E-03) 5.04E-01(1.91E-03) 
DAS-CMaOP8(11) 5.37E-01(3.47E-02) 3.88E-01(2.08E-01) 2.73E-01(1.26E-02) 3.61E-02(6.26E-08) 1.41E-01(3.27E-03) 5.25E-02(2.18E-02) 
DAS-CMaOP8(12) 2.21E-01(2.49E-02) 2.78E-02(4.23E-03) 4.83E-01(1.18E-02) 2.11E-02(2.14E-06) 5.24E-01(1.14E-02) 1.44E-02(1.12E-06) 
DAS-CMaOP9(1) 5.64E-01(1.16E-02) 5.80E-01(1.45E-02) 6.39E-01(1.73E-02) 7.19E-01(2.62E-02) 5.87E-01(2.17E-02) 7.11E-01(2.19E-02) 
DAS-CMaOP9(2) 4.04E-01(1.93E-03) 4.02E-01(4.00E-03) 4.45E-01(5.55E-03) 4.99E-01(1.64E-03) 4.34E-01(6.10E-03) 5.01E-01(1.32E-03) 
DAS-CMaOP9(3) 6.36E-01(1.23E-02) 6.52E-01(1.35E-02) 8.01E-01(9.72E-03) 8.80E-01(1.75E-02) 7.91E-01(1.59E-02) 9.08E-01(9.63E-03) 
DAS-CMaOP9(4) 3.45E-01(3.42E-03) 3.45E-01(5.41E-03) 3.68E-01(7.64E-03) 4.04E-01(6.69E-03) 3.57E-01(1.18E-02) 3.92E-01(4.99E-03) 
DAS-CMaOP9(5) 5.48E-01(1.22E-02) 5.68E-01(1.00E-02) 6.10E-01(2.65E-02) 6.89E-01(1.94E-02) 4.27E-01(6.90E-02) 6.98E-01(3.41E-02) 
DAS-CMaOP9(6) 4.06E-01(1.50E-03) 4.01E-01(2.70E-03) 4.46E-01(7.64E-03) 4.99E-01(1.67E-03) 4.24E-01(5.74E-03) 5.02E-01(7.63E-04) 
DAS-CMaOP9(7) 6.45E-01(1.45E-02) 6.35E-01(9.99E-03) 7.85E-01(1.91E-02) 8.22E-01(1.64E-02) 7.71E-01(2.12E-02) 8.64E-01(1.42E-02) 
DAS-CMaOP9(8) 3.29E-01(6.23E-03) 3.26E-01(9.66E-03) 3.40E-01(1.35E-02) 3.92E-01(1.47E-02) 4.12E-01(2.58E-02) 3.53E-01(3.36E-02) 
DAS-CMaOP9(9) 5.08E-01(2.98E-02) 5.26E-01(3.26E-02) 4.87E-01(6.41E-02) 6.32E-01(5.59E-02) 4.19E-01(3.72E-02) 6.58E-01(2.48E-02) 
DAS-CMaOP9(10) 4.05E-01(1.77E-03) 4.06E-01(2.90E-03) 4.45E-01(1.21E-02) 4.99E-01(1.73E-03) 4.25E-01(8.70E-03) 5.02E-01(1.06E-03) 
DAS-CMaOP9(11) 2.74E-01(3.89E-02) 2.08E-01(1.01E-01) 2.39E-01(9.42E-03) 5.72E-02(4.19E-02) 1.19E-01(4.03E-03) 3.80E-02(1.34E-06) 
DAS-CMaOP9(12) 3.29E-01(1.66E-02) 2.34E-02(1.99E-03) 4.14E-01(3.55E-02) 2.10E-02(1.50E-03) 4.14E-01(2.54E-02) 1.69E-02(1.35E-03) 
m = 5m = 8m = 10
Test ProblemC-MOEA/DDC-NSGA-IIIC-MOEA/DDC-NSGA-IIIC-MOEA/DDC-NSGA-III
DAS-CMaOP7(1) 7.31E-01(2.43E-02) 7.40E-01(3.47E-02) 7.38E-01(1.71E-02) 7.70E-01(7.75E-02) 7.13E-01(2.50E-02) 7.14E-01(1.27E-01) 
DAS-CMaOP7(2) 5.01E-01(5.83E-04) 5.11E-01(4.97E-04) 4.76E-01(3.43E-03) 5.14E-01(2.83E-04) 4.48E-01(6.58E-03) 5.14E-01(3.42E-04) 
DAS-CMaOP7(3) 8.66E-01(1.69E-03) 8.76E-01(1.38E-03) 9.07E-01(5.59E-03) 9.39E-01(7.74E-03) 9.06E-01(8.64E-03) 9.66E-01(8.03E-03) 
DAS-CMaOP7(4) 4.22E-01(1.59E-02) 4.18E-01(1.86E-02) 3.97E-01(1.05E-02) 3.99E-01(4.88E-02) 3.76E-01(1.01E-02) 3.88E-01(3.92E-02) 
DAS-CMaOP7(5) 7.09E-01(3.11E-02) 6.82E-01(3.46E-02) 7.17E-01(1.40E-02) 6.56E-01(1.54E-01) 6.92E-01(1.89E-02) 5.70E-01(1.74E-01) 
DAS-CMaOP7(6) 5.01E-01(4.07E-04) 5.11E-01(4.26E-04) 4.74E-01(4.96E-03) 5.14E-01(3.85E-04) 4.45E-01(6.42E-03) 5.14E-01(2.27E-04) 
DAS-CMaOP7(7) 8.61E-01(1.80E-03) 8.70E-01(1.68E-03) 9.00E-01(7.98E-03) 9.24E-01(8.93E-03) 9.00E-01(9.04E-03) 9.47E-01(1.22E-02) 
DAS-CMaOP7(8) 4.13E-01(1.69E-02) 3.27E-01(6.29E-02) 3.80E-01(1.13E-02) 2.62E-01(7.02E-02) 3.60E-01(9.87E-03) 3.17E-01(8.34E-02) 
DAS-CMaOP7(9) 6.71E-01(2.74E-02) 5.56E-01(1.19E-01) 6.72E-01(1.77E-02) 3.92E-01(1.62E-01) 6.52E-01(1.97E-02) 3.75E-01(1.22E-01) 
DAS-CMaOP7(10) 5.01E-01(5.83E-04) 5.11E-01(3.90E-04) 4.76E-01(5.88E-03) 5.14E-01(4.22E-04) 4.44E-01(6.12E-03) 5.14E-01(2.64E-04) 
DAS-CMaOP7(11) 6.24E-01(3.45E-02) 5.72E-01(6.82E-02) 2.76E-01(2.17E-02) 3.61E-02(6.84E-11) 1.26E-01(6.84E-03) 4.76E-02(1.72E-07) 
DAS-CMaOP7(12) 1.88E-01(2.93E-02) 2.19E-02(3.33E-05) 1.68E-01(1.73E-01) 2.10E-02(5.63E-05) 5.40E-01(1.78E-02) 1.44E-02(2.30E-05) 
DAS-CMaOP8(1) 6.74E-01(1.79E-02) 6.62E-01(2.87E-02) 7.28E-01(6.03E-03) 7.37E-01(4.23E-03) 7.64E-01(4.02E-03) 7.77E-01(3.45E-03) 
DAS-CMaOP8(2) 5.02E-01(1.90E-03) 5.13E-01(6.55E-04) 4.89E-01(5.11E-03) 5.14E-01(7.99E-03) 4.57E-01(4.37E-03) 5.15E-01(4.12E-03) 
DAS-CMaOP8(3) 7.68E-01(1.26E-02) 7.69E-01(3.35E-03) 8.36E-01(4.39E-03) 8.51E-01(2.02E-03) 8.89E-01(3.96E-03) 9.06E-01(3.75E-03) 
DAS-CMaOP8(4) 4.34E-01(1.14E-02) 4.30E-01(2.15E-02) 4.16E-01(5.20E-03) 4.40E-01(2.60E-03) 4.04E-01(1.13E-02) 4.29E-01(2.16E-03) 
DAS-CMaOP8(5) 6.63E-01(1.50E-02) 6.32E-01(2.88E-02) 7.07E-01(3.16E-02) 7.29E-01(6.89E-03) 7.47E-01(1.42E-02) 7.68E-01(3.73E-03) 
DAS-CMaOP8(6) 5.03E-01(5.26E-04) 5.13E-01(7.76E-04) 4.93E-01(2.89E-03) 5.08E-01(8.78E-03) 4.66E-01(7.78E-03) 5.10E-01(5.31E-03) 
DAS-CMaOP8(7) 7.70E-01(1.24E-02) 7.58E-01(6.65E-03) 8.41E-01(1.18E-02) 7.61E-01(1.88E-02) 8.84E-01(1.24E-02) 8.22E-01(4.17E-02) 
DAS-CMaOP8(8) 4.20E-01(1.36E-02) 3.91E-01(2.42E-02) 4.02E-01(1.53E-02) 4.26E-01(4.82E-03) 4.02E-01(3.44E-03) 4.19E-01(3.00E-03) 
DAS-CMaOP8(9) 6.36E-01(2.51E-02) 5.84E-01(2.80E-02) 6.74E-01(5.14E-02) 7.08E-01(1.72E-02) 7.19E-01(3.48E-02) 7.55E-01(4.33E-03) 
DAS-CMaOP8(10) 5.02E-01(1.46E-03) 4.84E-01(2.18E-02) 4.79E-01(8.86E-03) 4.98E-01(6.15E-03) 4.93E-01(2.35E-03) 5.04E-01(1.91E-03) 
DAS-CMaOP8(11) 5.37E-01(3.47E-02) 3.88E-01(2.08E-01) 2.73E-01(1.26E-02) 3.61E-02(6.26E-08) 1.41E-01(3.27E-03) 5.25E-02(2.18E-02) 
DAS-CMaOP8(12) 2.21E-01(2.49E-02) 2.78E-02(4.23E-03) 4.83E-01(1.18E-02) 2.11E-02(2.14E-06) 5.24E-01(1.14E-02) 1.44E-02(1.12E-06) 
DAS-CMaOP9(1) 5.64E-01(1.16E-02) 5.80E-01(1.45E-02) 6.39E-01(1.73E-02) 7.19E-01(2.62E-02) 5.87E-01(2.17E-02) 7.11E-01(2.19E-02) 
DAS-CMaOP9(2) 4.04E-01(1.93E-03) 4.02E-01(4.00E-03) 4.45E-01(5.55E-03) 4.99E-01(1.64E-03) 4.34E-01(6.10E-03) 5.01E-01(1.32E-03) 
DAS-CMaOP9(3) 6.36E-01(1.23E-02) 6.52E-01(1.35E-02) 8.01E-01(9.72E-03) 8.80E-01(1.75E-02) 7.91E-01(1.59E-02) 9.08E-01(9.63E-03) 
DAS-CMaOP9(4) 3.45E-01(3.42E-03) 3.45E-01(5.41E-03) 3.68E-01(7.64E-03) 4.04E-01(6.69E-03) 3.57E-01(1.18E-02) 3.92E-01(4.99E-03) 
DAS-CMaOP9(5) 5.48E-01(1.22E-02) 5.68E-01(1.00E-02) 6.10E-01(2.65E-02) 6.89E-01(1.94E-02) 4.27E-01(6.90E-02) 6.98E-01(3.41E-02) 
DAS-CMaOP9(6) 4.06E-01(1.50E-03) 4.01E-01(2.70E-03) 4.46E-01(7.64E-03) 4.99E-01(1.67E-03) 4.24E-01(5.74E-03) 5.02E-01(7.63E-04) 
DAS-CMaOP9(7) 6.45E-01(1.45E-02) 6.35E-01(9.99E-03) 7.85E-01(1.91E-02) 8.22E-01(1.64E-02) 7.71E-01(2.12E-02) 8.64E-01(1.42E-02) 
DAS-CMaOP9(8) 3.29E-01(6.23E-03) 3.26E-01(9.66E-03) 3.40E-01(1.35E-02) 3.92E-01(1.47E-02) 4.12E-01(2.58E-02) 3.53E-01(3.36E-02) 
DAS-CMaOP9(9) 5.08E-01(2.98E-02) 5.26E-01(3.26E-02) 4.87E-01(6.41E-02) 6.32E-01(5.59E-02) 4.19E-01(3.72E-02) 6.58E-01(2.48E-02) 
DAS-CMaOP9(10) 4.05E-01(1.77E-03) 4.06E-01(2.90E-03) 4.45E-01(1.21E-02) 4.99E-01(1.73E-03) 4.25E-01(8.70E-03) 5.02E-01(1.06E-03) 
DAS-CMaOP9(11) 2.74E-01(3.89E-02) 2.08E-01(1.01E-01) 2.39E-01(9.42E-03) 5.72E-02(4.19E-02) 1.19E-01(4.03E-03) 3.80E-02(1.34E-06) 
DAS-CMaOP9(12) 3.29E-01(1.66E-02) 2.34E-02(1.99E-03) 4.14E-01(3.55E-02) 2.10E-02(1.50E-03) 4.14E-01(2.54E-02) 1.69E-02(1.35E-03) 

Close Modal

or Create an Account

Close Modal
Close Modal